Määritä ympyrän x^2+y^2+4x-2y+1=0 niiden tangenttien yhtälöt, jotka kulkevat pisten (1,3) kautta.

[ad]

Alussa etsitään pyörön säde ja keskipiste:

x^2+y^2+4x-2y+1=0

x^2+4x+y^2-2y+1=0

x^2+4x+4+y^2-2y+1=4

(x+2)^2+(y-1)^2=2^2

Siis keskipiste (-2,1) ja r=2.

Pisteen ja suoran etäisyys: |Ax+By+C|/sqrt(A^2+B^2)

Tämä on tangentti, siis etäisyys on 2. Piste (x,y)=(-2,1)

x on 1, y on 3, sen kautta menevät suorat

Pisten 1,3 kautta menee:

y-3=k(x-1)

y=k(x-1)+3, y=kx-k+3, 0=kx-y-(k-3) (Tämä on A B ja C)

|k*(-2)-1*1-(k-3)|/sqrt(k^2+1*1)=2

-2k-1-k+3=-3k+2

(-3k+2)/sqrt(k^2+1)=2

(-3k+2)=2*sqrt(k^2+1)

9*k^2-12*k+4=4*k^2+4

5k^2-12k=0

k=0 tai k=12/5

siis y=0*x+3, y=3 ja

y=(12/5)*x+3/5

Vastaus: y=3  ja y=(12/5)*x+3/5, Geogebra esitys