Neljännen asteen polynomilla on paikallinen maksimi 16, kun x=-1. Origossa polynomi saa arvon 11. Polynomin kuvaajan pisteen (1,11) piirretyn tangentin kulmakerroin on 0.  Muodosta  yhtälöryhmä, josta polynomin kertoimet voidaan ratkaista. Ratkaise tämä laskinta käyttämättä. Mikä on kyseinen polynomi?

[ad]

Neljän asteen polynomi: f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e

Paikallinen maksimi 16, kun x=-1, siis f'(-1)=16

f'(x)=4*a*x^3+3*b*x^2+2*c*x+d

4*a*(-1)^3+3*b*(-1)^2+2*c*(-1)+d=0

a*(-1)^4+b*(-1)^3+c*(-1)^2+d*(-1)+e=16

”Origossa” eli kun x=0

a*0^4+b*0^3+c*0^2+d*0+e=11, e=11

f(1)=11, siis

a*1^4+b*1^3+c*1^2+d*1+e=11, a+b+c+d+e=11

piirretty tangentin kulmakerroin on 0 kohdassa 1 on 0, siis f'(1)=0

4*a*1^3+3*b*1^2+2*c*1+d=0, 4*a+3*b+2*c+d=0

Tämä on meidän yhtälöryhmä:

  • -4*a+3*b-2*c+d=0
  • a-b+c-d+e=16
  • e=11
  • a+b+c+d+e=11
  • 4*a+3*b+2*c+d=0

e=11, siis:

  • a+b+c+d=0
  • a-b+c-d=5
  • 4*a+3*b+2*c+d=0
  • -4*a+3*b-2*c+d=0

4*a+3*b+2*c=-4*a+3*b-2*c,4*a+2*c=-4*a-2*c, 8*a+4*c=0,c=-2*a

a+b+(-2*a)+d=0,-a+b+d=0

a-b+(-2*a)-d=5, -a-b-d=5

-2*a=5, a=-5/2

4*(-5/2)+3*b+2*c=-4*(-5/2)+3*b-2*c, 2*c+3*b-10=-2*c+3*b+10, 4*c=20, c=5

(-5/2)+b+(5)+d=0, d+b=-5/2, b=-(2*d+5)/2

-4*a+3*b-2*c+d=0
-4*(-5/2)+3*(-(2*d+5)/2)-2*5+d=0, d=-15/4

b=-(2*d+5)/2, b=-(2*(-15/4)+5)/2, b=5/4.

Yhdessä luettuna:

a=-5/2,b=5/4,c=5,d=-15/4,e=11

Ja polynomi sitten on (-5/2)*x^4+(5/4)*x^3+5*x^2-15/4*x+11