Olkoon f funktio, jolla on seuraavat ominaisuudet: f(x+y)=f(x)+f(y) kaikilla reaaliluvuilla x ja y, f(0)=1 ja f on derivoituva muuttujan arvolla 0. Osoita erotusosamäärä käyttäen, että f on derivoituva kaikkialla ja että f'(x)=f'(0)f(x). Anna esimerkki funktiosta, joka toteutta nämä ehdot.

[ad]

Erotusosamäärän määrittely taulukkokirjasta:

f'(x+h)=lim(h→0) (f(x+h)-f(x))/h tai f(x0)=lim(x→x0)(f(x)-f(x0))/(x-x0)

Se ensimmäinen määrittely jotenkin muistuta ehto f(x+y)=f(x)*f(y), sovitetaan:

lim(h→0) (f(x+h)-f(x))/h=lim(h→0)(f(x)f(h)-f(x))/h

Limittin muutuja on h, ja sillä me voidaan tehdä seuraava muutos:

f'(x)=lim(h→0)(f(x)f(h)-f(x))/h=lim(h→0)f(x)(f(h)-1)/h=f(x)*lim(h→0)(f(h)-1)/h (limittin ulkona)

1 muistuta toisen ehdon, f(0)=1,siis:

f'(x)=f(x)*lim(h→0)(f(h)-f(0))/h=f(x)*lim(h→0)(f(0+h)-f(0))/(0+h), mutta tämä on derivaatan määrittely kohdassa 0, siis:

f'(x)=f(x)*lim(h→0)(f(0+h)-f(0))/(0+h)=f(x)*f'(0)

f'(x)=f(x)*f'(0), todistettu.

f(x+y)=f(x)f(y), tämä on eksponentti funktio. Siis:

f(h)=π^h

π^(x+y)=(π^x)*(π^y)

f'(h)=log (π)π^h

f'(0)*f(h)=log (π)*1*π^h=log (π)π^h=f'(h)

Siis esimerikina π^x sopii.