Osoita, että yhtälöllä x-2 log(x)=0 ei ole reaalijuuria.

[ad]

Ei ole reaalijuuria… Suomeksi se on sama kuin yhtälöllä ei ole ratkaisua.

Tutkitaan funktio, nimen oma – missä se muutta suunta, minkä näköinen se on.

Funktio:f(x)=x-2 log(x), joka on määritelty reaalijoukossa vain positivisella puolella, johtuen (x) logaritmista. Vaaditan jo imaginaarisia numeroja jos x<0 ja x=0 ei ole määritelty ollenkaan.

Funktion derivaatta on f'(x)=1-2/x, x<=0 ei kiinnosta, ei kuulu määrittely joukkoon.

Katsotaan derivaatan nolla kohdat, ne ovat funktion käänne kohdat. Eli:
1-2/x=0, 2/x=1, x=2

Funktio derivaatta siinä kohdassa on nolla, derivaatta on jatkuva ja aidosti kasvava, eli kohdassa 2 se leikkaa akseli x, ja vaihtaa merkki negatiivisesta positiiviseen suuntaan. Alkuperäiselle funktio se tarkoitta että kohta kaksi on minimi.  Minimi joka on suurempi kun nolla tarkoita että funktio on aina positiivinen, eikä koskaan leikkaa x akseli, soveltaen yhtälöön x-2log(x)=0 tämä tarkoittaa että reaalijoukosta ei löytyy x, joka olisi sen yhtälön ratkaisu, sillä osoitetaan että alkuperäisellä yhtälöllä ei ole reaali juuria.