Tarkastellaan lukujonoa a1=9/10, a2=99/100, a3=999/1000,….
a) Määritä luvun an lauseke indeksin n avulla lausuttuna.
b) Osoita, että lukujono on kasvava ja että an<1 kaikilla n=1,2,3,… c) Määritä lim(n->∞)an.
d) Mikä luku on päättymätön desimaalikehitelmä 0.999…?

a) an=(10^n-1)/10^n=1-1/10^n on lauseke.

b) Käytetään induktio:

a(n+1)<a(n+2)

a(n+1)=1-1/10^(n+1)

a(n+2)=1-1/10^(n+2)

1-1/10^(n+1)<1-1/10^(n+2)

1/10^(n+1)>1/10^(n+2)(relaatio)

1>1/10^n

10^n>1

Kuten n > 1, ei tekee väliä, kuinka usein kerrotan 10:n 10:lla, lopputulos on kuitenkin suurempi kuin 1.

c)lim an=(1-1/10^n)=1-0=1

d) Reaaliluku