Kuinka monella tavalla voidaan oheinen kasvi piirtää kynää nostamatta, kun samaa viivaa pitkin ei saa kulkea uudestaan ja piirtäminen aloitetaan kukan terälehtien yhtymispisteestä?

Yllättävästi mielenkiintoinen tehtävä. Olen lisännyt avainsanoiksi topologia, mutta en huomannut alussa ehdon: ”piirtäminen aloitetaan kukan terälehtien yhtymispisteestä”.

Tässä on, kuitenkin, topologia – vähän yksinkertaisempi, kuin ajattelin alusta.

Minun versio kuvasta. Tehtävän ehto että aloitetaan pisteestä 7, mutta emme voidaan aloitta mistään muualta, paitsi 7 tai 1. Ja jos aloitetaan 7, niin päädytään 1, jos aloitetaan 1:stä, päädytään 7 – piste 6 voi olla vain välimatkalla, muuten emme pysty piirtämän kuvan kynän nostamatta.

Yritän selittä ajatukseeni.. Idea on solmupisteessä – parillinenko tai paritonko määrä teitä siihen. Yksinkertaistaan parillinen/pariton->2/1 muotoon. Siis jos solmuun vie 2(4,6,8 jne) teitä, niin me voidaan kerran tulla ja kerran lähteä, emmekä voidaan aloitta tai päätyä tähän solmuun. Jos solmuun vie 1(3,5,7 jne) teitä, niin me voidaan TAI aloita pisteestä, TAI päätyä siihen.

Tästä, muuten, päätös – jos parittomia solmuja enemmän kuin pari, niin piirtäminen on mahdoton. Ja toinen päätös parittomia solmuja on parillinen määrä (luukkuun ottamatta yksipisteistä rakennetta – rakenne jolla ei ole mitään muuta, paitsi yhtä solmua.) tai nolla.

Miksi 3 on sama kuin 1? 3=1+2, eli aloitetaan/päädytään+(tullaan+lähdetään), sama koskee 5 tai 7 jne.

Oheisessa kuvassa aloitetaan pisteestä 7, ja varsiin voidaan matkustaa vain viimeksi, muuten emme pysty palamaan terälehtiin.

Pisteessä 6, taas – lehdet ensiksi, ja vain sitten juurenpäin, muuten lehdet jäävät piirtämättä.

Pisteeseen 1 voidaan vain päätyä, johtuu tehtävän ehdosta.

Analysoidaan terälehdet – ne on piirrettävä alussa, ja niitä voidaan piirrä eri tavalla.

Terälehteä on 4, jokaisen voidaan piirtää kahdella eri tavalla. Siis pisteessä P(7) on 4*2=8 vaihtoehtoja.

Sitten on siirrettävä pisteeseen 6, eikä siinä ole mitään vaihtoehtoja.

P(6):ssa pitäisi piirtää kaksi lehteä, ja taas – jokaisen niistä voidaan piirtää kahdella eri tavalla – P(6)=2*2.

Sitten ei ole enää mitään vaihtoehtoja, ja päädytään P(1):een, jossa myös ei ole mitään (vaihtoehtoja).

P(7)=8
P(6)=4
P(1)=1

P(kukka)=P(7)*P(6)*P(1)=8*4*1=32

Vastaus 32 eri tapaa.

PS: Kirjan vastaus 3072. ”Mistä näitä senttejä oikein tulee?” Kysyn opettajalta.. Tämä on hyvin suuri numero niin pieneen kukkaan.

PPS: Niin. Olen tyhmä – ks.kommentin. Totta kai lehteä ei tarvitse piirtää järjestyksessä. Tehtävä muutenkin näytti haastavalta, mutta todellisuudessa se on VIELÄ haastavampi.

P(7):n kohdalla 4 terälehteä, jokaisen voidaan piirtää kahdella eri tavalla. JA sitten on otettava huomioon järjestyksen: 1234, 1243, 2134 jne. Siis 4!, ja kuten jokainen lehti voidaan piirtää kahdella eri tavalla P(7)=4!*2^4=384

P(6): kohdalla on 2 lehteä, taas jokaisen voidaan piirtää kahdella eri tavalla. Ja järjestys – 2! P(6)=2!*2^2=8

P(1) – edelleen 1.

P(Kukka)=384*8*1=3072

Harvinaisesti vaikea tehtävä. Vastaus: 3072

Kiitos Leenalle (Turun Iltalukion pitkämatikan opettaja)