MAA7 tunnilta, oma pohdinta.

Toisen asteen yhtälö on muotoa:

a*x^2+b*x+c=0

Diskriminantti on D=b^2-4*a*c (emme missään suoranaisesti tarvitaan D, mutta se helpottaa miettimistä. Normaalisti diskriminantin tarkoitus diskriminoida ratkaisu – jos D<0, niin ratkaisut ovat imaginaariset)

Itse juuret, sitten voidaan päätellä:

a*x^2+b*x+c=0
x1,2=(-b+-sqrt(D))/2a

z=sqrt(D)

x1=(-b+z)/2a, x2=(-b-z)/2a

a(x-x1)(x-x2)=a*x^2+b*x+c johtuu sitten:

x1=(-b+z)/2a , x2=(-b-z)/2a

(x-((-b+z)/2a))*(x-((-b-z)/2a))=(x+(b/2a-z/2a)*(x+(b/2a+z/2a))

a*(x+(b/2a-z/2a))*(x+(b/2a+z/2a))

(b/2a-z/2a)+(b/2a+z/2a)=b/a

a*(x^2+b/a*x+(b/2a+z/2a)*(b/2a-z/2a))

(b/2a+z/2a)*(b/2a-z/2a)=(b/(2*a)-z/(2*a))*(b/(2*a)+z/(2*a))=-(z^2-b^2)/(4*a^2)

z^2=D=b^2-4*a*c

-(b^2-4*a*c-b^2)/(4*a^2)=c/a

a(x+x1)(x+x2)=a*(x^2+b*x+c)=a*x^2+b*x+c

Sitten – huippupiste on juurten välissä, kuten tämä on symmetrinen paraabeli.

Siis xs=(x1+x2)/2 on keskispite JA huippupiste:

xs=((z-b)/(2*a)+(-z-b)/(2*a))/2=-b/2a

Hauska, sillä jos z ovat imaginaarisia leikkauspisteitä, symmetrinen keskipiste on aika reaali x+imaginaari ja x-imaginaari keskellä.

-b/2a voidaan saada myös derivoimalla alkuperäinen yhtälö. Derivaatta on tangentin kulmakerroin, niin silloin kun se on nolla, eli kasvu pysähtyi ja ollaan huipussa.

(a*x^2+b*x+c)’dx=(a*x^2)’dx+(b*x)’dx+(c)’dx=2*a*x+b

Silloin kun se on nolla (2*a*x+b=0) funktiolla on huippupiste.

2*a*x+b=0, 2*a*x=-b

x=-b/2a, sama tuttu paikka, reaalipiste kahden imaginaarisien tai reaalien välillä