Suoran ympyräpohjaisen katkaistun kartion korkeus on h ja pohjien säteet r1 ja r2, r1>r2.

a) Määritä pohjien suuntaisen leikkauksen pinta-ala a(z) korkeudella z->[0,h]

b) Laske int[h 0]a(z)dz

c) Miten eo.integraali liittyy katkaistuun kartion tilavuuteen?

d) Laske yllä esisttyä periaatetta soveltaen r-säteisen pallon tilavuus käyttämällä vaakasuoria tasoleikkauksia.

a) Pohjat ovat ympyrät, ja ympyrän pinta-ala on A=pi*r^2.

Alussa olisi mukava määritä r(z)

r2 on pieni pohjan säde, r1 on suuri pohjan säde, ja ero on sitten (r1-r2)

kun z=h, r(z)=r2+(r1-r2), kun z=0, r(z)=r2

Voidaan kirjoittaa tätä hiukan eri tavalla:

r2+1*(r1-r2) ja r2+0*(r1*r2)

0/h=0, h/h=1=z/h(kun z=h).

Tästä voidaan muodosta k=z/h, k->[0,1]

ja r(k)=r2+k*(r1-r2)

tästä johtuu r(z)=r2+z/h*(r1-r2)

toisella tavalla voidaan lähestyä toiselta suunnalta, r(z)=r1-z/h*(r1-r2)

a(z)=pi*r(z)^2

a(z)=pi*(r2+z/h*(r1-r2))^2

(tai sitten: a(z)=pi*(r1-z/h*(r1-r2))^2, mutta jätetään nyt tätä pois)

[z/h*(r1-r2)=t(z), mukavuuden vuoksi]

a(z)=pi*(r2^2+2*r2*t+t^2)

a(z)=pi*(r2^2+2*r2*z/h*(r1-r2)+((r1-r2)^2*z^2)/h^2

(z/h*(r1-r2))^2=((r1-r2)^2*z^2)/h^2

ja – tämä on a:n vastaus, itse asiassa.

b) lasketaan alussa int a(z)dz

a(z)=pi*(r2^2+2*r2*z*(r1-r2)/h+((r1-r2)^2*z^2)/h^2

tästä kaikki on vakiot, paitsi z, siis

int a(z)=pi*int (r2^2+2*r2*z*(r1-r2)/h+((r1-r2)^2*z^2)/h^2=pi*(int r2^2 dz+int 2*r2*z*(r1-r2)/h dz+int ((r1-r2)^2*z^2)/h^2 dz)

sitten

int r2^2 dz=r2^2*z

int 2*r2*z*(r1-r2)/h dz=2*r2*(r1-r2)/h*int z dz=2*r2*(r1-r2)/h*z^2/2=r2*(r1-r2)/h*z^2

int ((r1-r2)^2*z^2)/h^2 dz=(r1-r2)^2/h^2*int z^2 dz=(r1-r2)^2/h^2*z^3/3

ja sitten:

nyt sijoitetaan h ja 0, tehdään määrätty integraali

0:ssa se on 0, tämä on helppo

h:ssa sitten

pi*(r2^2*h+r2*(r1-r2)*h+(r1-r2)^2*h/3)=pi*h*(r2*r1+(r1-r2)^2/3)=pi*h*((r1^2-2*r1*r2+r2^2)/3+r2*r1)=pi*h/3*(r1^2-2*r1*r2+r2^2+3*r2*r1)=pi/3*h*(r1^2+r1*r2+r2^2)

ja tämä on b:n vastaus.

c) d’uh. Taulukossa tämä kaava vastaa katkaistun ympyräkartioon. Mikä onkin näin.

d) Huom., nyt kysytty pallo

Ympyrän korkeus on h, joka  int [-r r] dz

z vaikutta h:lle, se riippuu:

h^2=r^2-z^2

ja meitä kiinnostaa A=pi*r^2, tässä tapauksessa a(z)=pi*(r^2-z^2)

Tarvitaan sitten vielä int [r -r]a(z)dz=

=int [r -r](pi*(r^2-z^2))dz

etsitään aluksi int (pi*(r^2-z^2))dz

int (pi*(r^2-z^2))dz=int (pi*r^2) dz-int (pi*z^2)dz=pi*r^2*z-pi*z^3/3

Nyt sijoitetaan r ja -r

pi*r^2*(r)-pi*(r)^3/3=pi*r^3-pi*3^3/3=2/3pi*r^3

pi*r^2*(-r)-pi*(-r)^3/3=-pi*r^3+pi*3^3/3=-2/3pi*r^3

ja sitten:

2/3pi*r^3-(-2/3pi*r^3)=2/3pi*r^3+2/3pi*r^3=4/3pi*r^3

ja tämä on d:n vastaus. Työllias tehtävä, mutta ei yhtään vaikea – taulukkokirjassa on kaikki opastiedot, niin kun kartion ja pallon tilavuudet. Vaikea eksyä.