Todistetaan Sandwich-periaate oikeaksi: jos an<=bn<=cn, kaikkille n=>n0 ja , niin myös

Raja arvon määritelmä epsilonin kautta näyttää seuravalta:

=> kaikille eps>0 on olemassa sellainen n(epsista), niin että jos kaikki n>n(eps.) niin |an-A|<eps

Laaditaan kuvaa:

Huom – bn voi olla missä vaan A:n nähden, mutta se on taatusti an ja cn välillä.

Nyt voidaan sanoa näin:

jolle , että

ja samalla

jolle , että

(Miksi ei, jos on pienempi kun epsilon kaikille epsilonille, niin onkin pienempi kuin kolmas osa)

Nyt olkoon N=max{N1,N2}, eli suurin niistä, koska emme tiedä mikä puoli on suurempi.

Sillon pitää paikkansa: (kolmoisepäyhtälö)

sitten

eli siis silloin kun

tai voidaan sanoa on niin että

ja tämä on lukujonon määrittely, eli ♦