Olkoon, vaikka funktio. Miten voidaan saada sen arvo kun ?

Toki, tulos on irrationaali luku, siis emme voi saada sen tarkka arvo, mutta voidaan saada niin tarkasti, kuin tarvitsemme.

Avuksi tulee Taylor sarjat, itse asiassa uskon että tämä on erikoinen Taylor sarja nimelta McLaurin sarja, palataan asiaan myöhemmin.

Tehdään kuvan:

1A:n koordinaatit ovat (1,0), ei ole varsinaisesti tärkeä, B:n koordinaatit on kiinnostus kohde, sen y koordinaatti on

Tehdään ensimmäinen approksimointi, lähdetään pisteestä  (0,0) – tämä tekee tästä Taylor sarjasta McLaurinin sarja, Taylor sarja on yleisempi tapaus kun aloitetaan toisesta pisteestä. Mutta ei tehdään asia mutkikampi kun se on.

Kärkeä approksimointi tulee sitten . Kuva:2Paksu katkoviiva on hyvin surkea approksimaatio, joka sano että . Kyllä se on tosi joskus, mutta tällainen approksimaatio ei ole kovin järkevä.

Tästä lähtien määrittelen myös , koska me approksimoidaan polynomilla – vaaka suora on myös polynomi, nollan asteen polynomi. .

Miten me voidaan lisätä siihen käyryys? ei riitä, lisätään siihen toinen ehto – , eli eli

Mistä x on tullut? Jos ajatellan että saadaan nollan asteen polynomi, siis vaakasuora. Lisämällä siihen 1 asteen ominaisuus, saadaan suora, mutta sillä on jo kulma. josta tulee tarkempi approksimaatio .

Kuva:

3 on jo paljon parempi. Mutta oletamme, että silti ei riitä.

Lisätään vielä ehdon, , miten voidaan saada sen?

Tehdään toiseen asteen polynomi p(x):stä –

Mistä tuli ? p(x) on f(0), jos otamme ensimmäinen derivaata p(x):sta saadaan , koska x lähtee pois derivoinnin jälkeen

Silloin kun , niin kertomalla 1/2lla saadaan 2 pois.

Koska , niin ei kiinitetään siihen huomio, tehdään heti seuraava approksimaatio:

On ilmiselvä että .. tästä jo voi huomata logiikan. x:n potenssit ovat ja kertoimet toisesta termista alkaen tai sitten jossa n on termin aste.

Tästä voi nähdä yksi selitys, tai seuramus siitä että , kerroin ensimmäiselle, nollan asteen termille.

Siis tässä vaiheessä meidään approksimaatio on

Mistä tuli minus?

Kuva:

4Tämä näyttä jo paljon paremmalta. Nyt huomataan että:




Kun x=0, sin(x)=-sin(x)=0, siis termeista 0,1,2,3,4,5… termien 0,2,4,6,8.. vakiot ovat nolla.

Termien 1,5,9,13.. vakiot ovat 1, ja termien  3,7,11,15.. ovat -1.

Nyt kerätään kaikki yhteen –

Tai sitten

Voidaan laita siihen saadaan ja laskea niin paljon termejä kunnes riittävä tarkkuus on saavutettu.

Seitsemään asteen asti tulee

Wolframalfa on sama mieltä. Sen antama arvo on

5