Nelikulmion muotoisen tontin kolme peräkkäistä kulmaa ovat mittausten mukaan 70°, 125° ja 110°; näiden välisten rajalinjojen pituudet ovat (samassa järjestyksessä) 88 metriä ja 120 metriä. Kuinka suuri on tontin neljäs kolma? Mitkä ovat tontin kahden muun sivun pituudet? Ilmoita pituudet metrin tarkkuudella.
[ad]
Nelikulmion kulman summa on 360°.
Viimeinen kulma=360°-(70°+125°+110°)=55°
Mukavuuden vuoksi annetaan kirjaimet kulmille:
A=70°, B=125°, C=110° ja D=55°
AB=88m ja BC=120m
AC voidaan saada kosinilauseella (Taulukkokirja, Geometria)
AC^2=AB^2+BC^2-2*AB*BC*cos(AB^BC)
AC=√(88^2+120^2-2*88*120*cos(125°))=8*√(346-330*cos(125°))
Sinilauseesta saadan:
sin(BAC)/BC=sin(ABC)/AC
sin(BAC)/120=sin(125°)/(8*√(346-330*cos(125°)))
sin(BAC)=sin(125°)/(8*√(346-330*cos(125°)))*120
BAC=arcsin(sin(125°)/(8*√(346-330*cos(125°)))*120)≈32.07888783963675°…
sitten CAD=70°-BAC=70°-(arcsin(sin(125°)/(8*√(346-330*cos(125°)))*120)) ja
ACD=180°-55°-CAD=125°-CAD=125°-(70°-(arcsin(sin(125°)/(8*√(346-330*cos(125°)))*120)))=55°+(arcsin(sin(125°)/(8*√(346-330*cos(125°)))*120))≈87.07888783963675°
sin(ACD)/AD=sin(CDA)/AC
AD=(sin(ACD)*AC)/sin(CDA) ja
sin(CAD)/CD=sin(CDA)/AC
CD=(sin(CAD))*AC/sin(CDA)
Siis:
AD=(sin(55°+(arcsin(sin(125°)/(8*√(346-330*cos(125°)))*120)))*8*√(346-330*cos(125°)))/sin(55°)≈225.658344724251…m
CD=(sin(70°-(arcsin(sin(125°)/(8*√(346-330*cos(125°)))*120)))*8*√(346-330*cos(125°)))/sin(55°)≈138.8646183996235…m
Pyöristetaan: AD=226m ja CD=139m
Vastaus: Neljäs kulma on 55°, kaksi muut sivut ovat 226m ja 139m.