Määritä ympyrän x^2+y^2+4x-2y+1=0 niiden tangenttien yhtälöt, jotka kulkevat pisten (1,3) kautta.
[ad]
Alussa etsitään pyörön säde ja keskipiste:
x^2+y^2+4x-2y+1=0
x^2+4x+y^2-2y+1=0
x^2+4x+4+y^2-2y+1=4
(x+2)^2+(y-1)^2=2^2
Siis keskipiste (-2,1) ja r=2.
Pisteen ja suoran etäisyys: |Ax+By+C|/sqrt(A^2+B^2)
Tämä on tangentti, siis etäisyys on 2. Piste (x,y)=(-2,1)
x on 1, y on 3, sen kautta menevät suorat
Pisten 1,3 kautta menee:
y-3=k(x-1)
y=k(x-1)+3, y=kx-k+3, 0=kx-y-(k-3) (Tämä on A B ja C)
|k*(-2)-1*1-(k-3)|/sqrt(k^2+1*1)=2
-2k-1-k+3=-3k+2
(-3k+2)/sqrt(k^2+1)=2
(-3k+2)=2*sqrt(k^2+1)
9*k^2-12*k+4=4*k^2+4
5k^2-12k=0
k=0 tai k=12/5
siis y=0*x+3, y=3 ja
y=(12/5)*x+3/5
Vastaus: y=3 ja y=(12/5)*x+3/5
, Geogebra esitys