Neljännen asteen polynomilla on paikallinen maksimi 16, kun x=-1. Origossa polynomi saa arvon 11. Polynomin kuvaajan pisteen (1,11) piirretyn tangentin kulmakerroin on 0. Muodosta yhtälöryhmä, josta polynomin kertoimet voidaan ratkaista. Ratkaise tämä laskinta käyttämättä. Mikä on kyseinen polynomi?
[ad]
Neljän asteen polynomi: f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
Paikallinen maksimi 16, kun x=-1, siis f'(-1)=16
f'(x)=4*a*x^3+3*b*x^2+2*c*x+d
4*a*(-1)^3+3*b*(-1)^2+2*c*(-1)+d=0
a*(-1)^4+b*(-1)^3+c*(-1)^2+d*(-1)+e=16
“Origossa” eli kun x=0
a*0^4+b*0^3+c*0^2+d*0+e=11, e=11
f(1)=11, siis
a*1^4+b*1^3+c*1^2+d*1+e=11, a+b+c+d+e=11
piirretty tangentin kulmakerroin on 0 kohdassa 1 on 0, siis f'(1)=0
4*a*1^3+3*b*1^2+2*c*1+d=0, 4*a+3*b+2*c+d=0
Tämä on meidän yhtälöryhmä:
- -4*a+3*b-2*c+d=0
- a-b+c-d+e=16
- e=11
- a+b+c+d+e=11
- 4*a+3*b+2*c+d=0
e=11, siis:
- a+b+c+d=0
- a-b+c-d=5
- 4*a+3*b+2*c+d=0
- -4*a+3*b-2*c+d=0
4*a+3*b+2*c=-4*a+3*b-2*c,4*a+2*c=-4*a-2*c, 8*a+4*c=0,c=-2*a
a+b+(-2*a)+d=0,-a+b+d=0
a-b+(-2*a)-d=5, -a-b-d=5
-2*a=5, a=-5/2
4*(-5/2)+3*b+2*c=-4*(-5/2)+3*b-2*c, 2*c+3*b-10=-2*c+3*b+10, 4*c=20, c=5
(-5/2)+b+(5)+d=0, d+b=-5/2, b=-(2*d+5)/2
-4*a+3*b-2*c+d=0
-4*(-5/2)+3*(-(2*d+5)/2)-2*5+d=0, d=-15/4
b=-(2*d+5)/2, b=-(2*(-15/4)+5)/2, b=5/4.
Yhdessä luettuna:
a=-5/2,b=5/4,c=5,d=-15/4,e=11
Ja polynomi sitten on (-5/2)*x^4+(5/4)*x^3+5*x^2-15/4*x+11
