Paraabelin y=x^2 pisteseen (x0,y0), x0∈]0,1], piiretty tangentti, x-akseli ja suora x=1muodostavat kolmion. Millä arvolla x0 tämä kolmio on pinta-alaltaan suurin?

[ad]

Tangentin kulma kerroin on sama kuin funktion derivaatta:

f(x)=x^2, f'(x)=2x

Pistessä x0 tangentin kaava pitäisi koskea käyrää. Tangentin kaava on tang(x)=f'(x)*x+c

tang(x)=f(x), 2*x*x+c=x^2, c=-x^2

Pisteen (x0,x0^2) kulkuvaan  tangentti on tang(x)=2*x0*x-x0^2. Se leikkaa x akseli kohteessä: tang(x)=0, siis 2*x0*x-x0^2=0.

2*x0*x=x0^2, x=x0^2/2*x0, x=x0/2

suoran x=1 kautta tangentti kulkee kun x=1, eli:

tang(1)=2×0*1-x0^2=2×0-x0^2, näin muodostuvat kolme kolmion pisteitä:

A,B ja C.
C on helppo, se on aina (1,0)
B on (x0/2,0)
A on (1,2×0-x0^2)

ABCn pinta ala on BC*AC*1/2 (Voidaan jäädä puolikas pois, mutta anna olla – se häviä derivoinnissa)
BC=sqrt((1-x0/2)^2+(0-0)^2)=1-x0/2
AC=sqrt((1-1)^2+(2×0-x0^2-0)^2)=2×0-x0^2 ja pinta-ala sitten on
(1-x0/2)*(2*x0-x0^2)*(1/2)=(x0^3-4*x0^2+4*x0)/4=(x0^3)/4-x0^2+x0… Tämä meillä on käyrä, sen minimi ja maksimi on silloin kun sen derivaatta on nolla pisteessä.

((x0^3)/4-x0^2+x0)’^=(3*x0^2)/4-2*x0+1, Tutkitaan koska se on nolla:

((3*x0^2)/4-2*x0+1)=0

x0=2 tai x0=2/3. Ensimmäinen vaihtoehto ei kelpaa, x0∈]0,1].

Silloin kun arvo x0=2/3, kolmio on suurin, tehtävän ehdon mukaan. Geogebra esitys, vie piste 0 hiirellä.