Ympyrälevystä, jonka säde on r, leikataan pois sektori, ja jäljelle jäänyt osa taivutetaan suoran ympyräkartion vaipaksi. Määritä pois leikatun sektorin keskuskulma asteen tarkkuudella, kun kartion tilavuus on mahdollisimman suuri.

[ad]

Ympyräkartion tilavuus, taulukkokirjan mukaan on V=1/3π(r^2)h.  Jos leikataan sektori, se mikä jää on myös sektori, ja hahmottamisen tueksi sanotaan että sen kulman asteluku on x=α/360°.

Kartion pohjaympyrän pituus on 2πR=2πrx(alkuperäinen ympyrälevy), niin R=rt

h pythagoraan lauseen mukaan on h=sqrt(r^2-R^2)=r*sqrt(1-t^2)

V=1/3π(R^2)h=1/3π(rt)^2*r*sqrt(1-t^2)=1/3πr^2*t^2*r*sqrt(1-t^2)=1/3πr^3*sqrt(t^4-t^6)

t on muuttuja, eli V on suurin kun t^4-t^6 on suurin, derivoidaan:

(t^4-t^6)’=4*t^3-6*t^5=t^3(4-6*t^2)

Etsitään nollakohdat:

t^3(4-6*t^2)=0, t=0 tai 4-6*t^2=0

t=-sqrt(2)/sqrt(3),t=sqrt(2)/sqrt(3), t=0

Negatiivinen t ei ole mahdollinen, kartio on fyysinen objekti, siis: t=sqrt(2)/sqrt(3) tai t=0

kun t on 0, V on myös nolla, kun t=sqrt(2)/sqrt(3) on V=4/27, eli t=0 ei ole maximi, mutta t=sqrt(2)/sqrt(3) on.

360(1 − sqrt(2)/sqrt(3))=66.06123086601859°≈66°