MAA14 Yo-koe S08, tehtävä 9, derivaatta

Ympyrälevystä, jonka säde on r, leikataan pois sektori, ja jäljelle jäänyt osa taivutetaan suoran ympyräkartion vaipaksi. Määritä pois leikatun sektorin keskuskulma asteen tarkkuudella, kun kartion tilavuus on mahdollisimman suuri.

[ad]

Ympyräkartion tilavuus, taulukkokirjan mukaan on V=1/3π(r^2)h.  Jos leikataan sektori, se mikä jää on myös sektori, ja hahmottamisen tueksi sanotaan että sen kulman asteluku on x=α/360°.

Kartion pohjaympyrän pituus on 2πR=2πrx(alkuperäinen ympyrälevy), niin R=rt

h pythagoraan lauseen mukaan on h=sqrt(r^2-R^2)=r*sqrt(1-t^2)

V=1/3π(R^2)h=1/3π(rt)^2*r*sqrt(1-t^2)=1/3πr^2*t^2*r*sqrt(1-t^2)=1/3πr^3*sqrt(t^4-t^6)

t on muuttuja, eli V on suurin kun t^4-t^6 on suurin, derivoidaan:

(t^4-t^6)’=4*t^3-6*t^5=t^3(4-6*t^2)

Etsitään nollakohdat:

t^3(4-6*t^2)=0, t=0 tai 4-6*t^2=0

t=-sqrt(2)/sqrt(3),t=sqrt(2)/sqrt(3), t=0

Negatiivinen t ei ole mahdollinen, kartio on fyysinen objekti, siis: t=sqrt(2)/sqrt(3) tai t=0

kun t on 0, V on myös nolla, kun t=sqrt(2)/sqrt(3) on V=4/27, eli t=0 ei ole maximi, mutta t=sqrt(2)/sqrt(3) on.

360(1 − sqrt(2)/sqrt(3))=66.06123086601859°≈66°