MAA11: Diofantoksen yhtälö

Tunnilla oli käsitelty tehtävä, jota haluaisin jätä tähän.

Eräs ihminen osti hedelmiä, kahta eri tyyppiä. Yksi tyyppi maksoi 16mk per kappale, toinen 46mk per kappale. Yhteensä se ihminen tuhlasi 618mk, miten paljon hän oli ostanut hedelmiä? (Muistan hämärästä oliko se hedelmät/markat, se voi hyvin olla kengät/eurot tai ihan mitä vaan. Numerot pitävät paikkansa)

Muodostetaan yhtälö: 16*x+46*y=618, x ja y ovat kokonaiset ja positiiviset. Tämä on Diofantoksen yhtälö, sillä on ratkaisu jos syt(16,46)=618, tai syt(16,46)=z ja z*n=618, missä n on kokonaisluku. Toisella tavalla sanottu yhtälön summa pitäisi olla tekijöiden suuren yhteinen tekijä monikertoinen.

Jokaisessa tapauksessa, etsitään syt(16,46):

46|16
46=16*2+14
16|14
16=14*1+2
14|2
14=2*7+0
2|0
syt=2

618 voidaan jakaa 2:lla, siis tämä yhtälö voidaan ratkaista. Ratkaistaan sen supistettu muoto, siis 16*xx+46*yy=2
Yllä olevasta yhtälöstä saadan 2=16-14*1

14=46-16*2, ja siis:

2=16-(46-16*2)*1=16-46+2*16=3*16-46, xx=3 ja yy=-1 (16*xx+46*yy=2)

Meidän alkuperäinen yhtälö on 618/2=309 kertaa suurempi, siis:

16*x+46*y=2*309 jos x=xx*309 ja y=yy*309

x=927, y=-309… Tämä ei kovin kelpaa, y on negatiivinen, ei ole mahdollista osta negatiivinen määrä omenoita.

Taulukko kirjassa sanottu että jos Diofantoksen yhtälöllä on yksittäinen ratkaisu, voidaan saada muut ratkaisut sillä lailla:

x0=x+(46/syt)*n=x+(46/2)*n=927+23*n
y0=y-(16/syt)*n=y-(16/2)*n=-309-8*n

-309-8*n pitäisi olla suurempi kun nolla, ja 927+23*n myös pitäisi olla suurempi kuin nolla. Siis:

-309-8*n>0
-8*n>309
n<-38.625(relaation suunta muuttuu)

ja 927+23*n>0
23*n>-927
n>-40.30

-38.6>n>-40.3, n=-39, n=-40

x0=927+23*(-39)=30
y0=-309-8*(-39)=3

x1=927+23*(-40)=7
y1=-309-8*(-40)=11

30*16+3*46=618
7*16+11*46=618, eli tässä tehtävässä on kaksi ratkaisua ja molemmat toimii.