a) Osoita, että jokaiselle kolmannen asteen polynomille p(x) pätee
(0 2)∫p(x)dx=1/3[p(0)+4p(1)+p(2)]
b) Laske tämän avulla (0 2)∫(x^3+x^2+x+1)dx
c) Osoita, että kaava ei päde kaikille neljännen asteen polynomeille.
a) Mikä on kolmannen asteen polynomi? Sen voi määritellä niin:
a*x^3+b*x^2+c*x+d, integroidaan:
∫(a*x^3+b*x^2+c*x+d)dx=(a*x^4)/4+(b*x^3)/3+(c*x^2)/2+dx, ja lasketaan määrity integraali:
(a*2^4)/4+(b*2^3)/3+(c*2^2)/2+d*2=4*a+8*b/3+2*c+2*d
(a*0^4)/4+(b*0^3)/3+(c*0^2)/2+d*0=0
4*a+8*b/3+2*c+2*d-0=4*a+8*b/3+2*c+2d(1.1)
Sitten:
p(0)=d
p(1)=a+b+c+d
p(2)=8a+4b+2c+d
1/3[p(0)+4*p(1)+p(2)]=1/3[d+4*(a+b+c+d)+8a+4b+2c+d]=1/3*(d+4a+4b+4c+4d+8a+4b+2c+d)=1/3(12a+8b+6c+6d)=4a+8/3b+2c+2d joka on sama kuin (1.1) □
b)x^3+x^2+x+1, p(0)=1
p(1)=1+1+1+1=4
p(2)=8+4+2+1=15
1/3(1+4*4+15)=1/3*32=32/3
Vastaus: 32/3
c)nyt p(x)=z*x^4+a*x^3+b*x^2+c*x+d, sen integraali on:
(z*x^5)/5+(a*x^4)/4+(b*x^3)/3+(c*x^2)/2+dx, ja sen (2 0) osa on
(z*2^5)/5+(a*2^4)/4+(b*2^3)/3+(c*2^2)/2+d*2=32*z/5+2*d+2*c+(8*b)/3+4*a (32/5*z on ylimääräinen osa kohdasta 1) (1.2)
p(0)=d
p(1)=z+a+b+c+d
p(2)=16z+8a+4b+2c+d
1/3[p(0)+4*p(1)+p(2)]=1/3(d+4*(z+a+b+c+d)+16*z+8*a+4*b+2*c+d)=4*a+8/3*b+2*c+2*d+20/3*z(20/3*z on tässä tapauksessa ylimääräinen osa).
(1.2)=32/5*z
32/5*z≠20/3*z □ (tämä päde vain jos z=0, mutta sitten p(x) ei ole enää neljännen asteen polynomi)