a) Funktion f(x)=a*x^2*e^x+b*x*e^x derivaatta on f'(x)=2*x^2*e^x+x*e^x-3*e^x. Määritä a ja b.Alussa määritän f(x) derivaatta.

(a*x^2*e^x+b*x*e^x)’=(a*x^2*e^x)’+(b*x*e^x)’

(a*x^2*e^x)’=2*a*x*e^x+a*x^2*e^x

(b*x*e^x)’=b*e^x+b*x*e^x

f'(x)=2*a*x*e^x+a*x^2*e^x+b*e^x+b*x*e^x

Tämä on yleinen derivaatta, meille annettu versio on 2*x^2*e^x+x*e^x-3*e^x, siis

2*a*x*e^x+a*x^2*e^x+b*e^x+b*x*e^x=2*x^2*e^x+x*e^x-3*e^x, sanotaan että e^x=z:

2*a*x*z+a*x^2*z+b*z+b*x*z=2*x^2*z+x*z-3*z

x^2 argumentti (2*x^2*z) ilmestyy yleisderivaatassa vain kerran:  a*x^2*z, siis:

a*x^2*z=2*x^2*z, a=2

2*a*x*z+b*z+b*x*z=x*z-3*z

Vasemmalla puolella x argumentti puutu b*z:sta.

Siis b*z=-3*z, b=-3

2*a*x*z+b*x*z=x*z, kun a=2 ja b=-3. Tarkistetaan:

2*2*x*z-3*x*z=4*x*z-3*x*z=x*z   □

Vastaus: a=2, b=-3