Mikä paraabelin y=5-x^2 piste on lähinnä origoa? Piirrä kuvio.

Siis, paraabelin piste on (x,5-x^2)

Etäisyys origolle sitten on sqrt((x-0)^2+(5-x^2-0)^2)=sqrt((5-x^2)^2+x^2)

Me etsitään minimi, siis tarvitse löytää kun (sqrt((5-x^2)^2+x^2))’=0

sqrt((5-x^2)^2+x^2)=sqrt(x^4-9*x^2+25)

(sqrt(x^4-9*x^2+25))’=((x^4-9*x^2+25)^(1/2))’=(4*x^3-18*x)/(2*sqrt(x^4-9*x^2+25))

(4*x^3-18*x)/(2*sqrt(x^4-9*x^2+25)) on nolla kun 4*x^3-18*x=0

x=-3/sqrt(2) tai x=0 tai x=3/sqrt(2), löydetään mikä niistä on minimi:

(4*(-3)^3-18*(-3))=-54
(2*sqrt((-3)^4-9*(-3)^2+25))=10, derivaatta on negatiivinen,

(4*(-1)^3-18*(-1))=14
(2*sqrt((-1)^4-9*(-1)^2+25))=2*sqrt(17), derivaatta on positiivinen. -3<-3/sqrt(2)<-1, -3/sqrt(2) on minimi

(4*(1)^3-18*(1))=-14
(2*sqrt((1)^4-9*(1)^2+25))=2*sqrt(17), derivaatta on negatiivinen -1<0<1, 0 on paikallinen maksimi.

(4*(3)^3-18*(3))=54
(2*sqrt((3)^4-9*(3)^2+25))=10, derivaatta on positiivinen. 1<3/sqrt(2)<3, 3/sqrt(2) on minimi.

siis -3/sqrt(2) ja 3/sqrt(2) ovat x arvot, joita me etsitään.

y:t ovat 5-(-3/sqrt(2))^2=1/2 ja 5-(3/sqrt(2))^2=1/2, siis:

Vastaus: (-3/sqrt(2), 1/2) ja (3/sqrt(2), 1/2) ovat pisteet lähinnä origoa.