Neljännen asteen polynomilla 3*x^4-8*x^3-18*x^2+7 ja sen derivaatalla on yhteinen nollakohta. Määritä tämä yhteinen nollakohta.

Polynomilla on nolla kohta, siis me voidaan ratkaista 3*x^4-8*x^3-18*x^2+7=0, mutta tämä on vaikea. Lähestytään ongelma toisella tavalla.

(3*x^4-8*x^3-18*x^2+7)’=(3*x^4)’-(8*x^3)’-(18*x^2)’+(7)’

(3*x^4)’=12*x^3

(8*x^3)’=24*x^2

(18*x^2)’=36*x

(7)’=0

Siis (3*x^4-8*x^3-18*x^2+7)’=12*x^3-24*x^2-36*x

Derivaatalla on nollakohta, tehtävä sano että “on … nollakohta”. Siis 12*x^3-24*x^2-36*x=0

x*(12*x^2-24*x-36)=0

12*x*(x^2-2*x-3)=0

12*x*(x-3)*(x+1)=0

Siis x=0, tai x=3, tai x=-1

3*0^4-8*0^3-18*0^2+7=7, 7 ei ole 0, x=0 ei kelpaa.

3*3^4-8*3^3-18*3^2+7=-128, -128 ei ole 0.. myös ei kelpaa.

3*(-1)^4-8*(-1)^3-18*(-1)^2+7=0, 0 pn nolla, siis sekä polynomi että derivaatta ovat  y akselila kun x=-1.

Vastaus: x=-1