a) Määritä derivaatta ja integraalifunktio funktiolle x^n, kun n=-4,-1,2

b) Laske funktion f(x)=(2+sin[x])/(2+cos[x]) derivaatta pisteessä x=pi/2

a) Siis, funktiot ovat: x^(-4), x^(-1) ja x^2.

(x^n)’=nx^(n-1)

(x^(-4))’=-4x^(-5)

int[x^n]=x^(n+1)/(n+1)+C

int[x^(-4)]=x^(-3)/(-3)+C

(x^(-1))’=-x^(-2)

x^(-1)=1/x

int[1/x]=ln|x|+C

(x^2)’=2*x

int[x^2]=x^3/3+C

b) (f/g)’=(g*f’-f*g’)/g^2

f=2+sin(x)

f’=cos(x)

g=2+cos(x)

g’=-sin(x)

((2+cos(x))*cos(x)+(2+sin(x))*sin(x))/(2+cos(x))^2=(2*cos(x)+cos(x)^2+2*sin(x)+sin(x)^2)/(2+cos(x))^2

cos(x)^2+sin(x)^2=1

(2*cos(x)+2*sin(x)+1)/(2+cos(x))^2

cos(pi/2)=0

sin(pi/2)=1

(2*0+2*1+1)/(2+0)^2=3/4

Vastaus: 3/4