Määrittele, mitä tarkoitetaan reaaliluvun x itseisarvolla.
Todista, että seuraavat epäytälöt ovat voimassa kaikille reaaliluvuille x ja y:
a)x<=|x|
b)x+y<=|x|+|y|
c)|x+y|<=|x|+|y|
d)||x|-|y||<=|x|+|y|
|x|=x kun x>=0, ja |x|=-x kun x<0
a) Jos x>=0 niin x=|x|, jos x<0 niin x<|x|, tämä sisältää kaikki x reaaliluvut.
b) Jos x<=|x| niin myös x+y<=|x|+|y|
c) Voidaan oleta että -|x|<=x<=|x|, ja sama pätee ylle.
Tästä johtuen sama pätee summalle, -(|x|+|y|)<=x+y<=|x|+|y|
Siis jos x+y>=0, |x+y|=x+y, ja x+y<=|x|+|y|
Jos x+y<0,|x+y|=-(x+y) joka on myös -(x+y)<=|x|+|y| (kts.b)
d)Jos |x|-|y|=>0 niin ||x|-|y||=|x|-|y|, ja |x|-|y|<=|x|+|y|, kuten |y|=>0.
Jos |x|-|y|<0 niin ||x|-|y||=|y|-|x|, ja |y|-|x|<=|y|+|x|, kuten |x|=>0.