a) Derivoi funktio  (1-2*x^2)/(1+x^2)

b) Määritä kaikki funktiot, joiden derivaatta on (e^3*x-x).

c) Mille kokonaisluvulle n pätee 5^n+5^n+5^n+5^n+5^n=5^25

а) (f/g)’=(f’*g-f*g’)/g^2

f=1-2*x^2, g=1+x^2

f’=-4x, g’=2x

f’*g=-4x*(1+x^2)

f*g’=2x*(1-2*x^2)

(f/g)’=(-4x*(1+x^2)-2x*(1-2*x^2))/(1+x^2)^2

-4*x*(x^2+1)-2*x*(1-2*x^2)=-x*(4*(x^2+1)+2*(1-2*x^2))=-x*(4*x^2+4+2-4*x^2)=-x*(6)=-6*x

(f/g)’=-6*x/(1+x^2)^2

Vastaus: -6*x/(1+x^2)^2

b) int(e^(3*x)-x)dx=int(e^(3*x))dx-int(x)dx

int(e^(3*x))dx=e^(3*x)/3+C1

int(x)dx=x^2/2+C2

e^(3*x)/3+C1-x^2/2-C2=e^(3*x)/3-x^2/2+C

Vastaus: e^(3*x)/3-x^2/2+C

c)5^n+5^n+5^n+5^n+5^n=5*(5^n)=5^(n+1)=5^25

25=n+1, n=24

Vastaus: n=24