a) Derivoi funktio (1-2*x^2)/(1+x^2)
b) Määritä kaikki funktiot, joiden derivaatta on (e^3*x-x).
c) Mille kokonaisluvulle n pätee 5^n+5^n+5^n+5^n+5^n=5^25
а) (f/g)’=(f’*g-f*g’)/g^2
f=1-2*x^2, g=1+x^2
f’=-4x, g’=2x
f’*g=-4x*(1+x^2)
f*g’=2x*(1-2*x^2)
(f/g)’=(-4x*(1+x^2)-2x*(1-2*x^2))/(1+x^2)^2
-4*x*(x^2+1)-2*x*(1-2*x^2)=-x*(4*(x^2+1)+2*(1-2*x^2))=-x*(4*x^2+4+2-4*x^2)=-x*(6)=-6*x
(f/g)’=-6*x/(1+x^2)^2
Vastaus: -6*x/(1+x^2)^2
b) int(e^(3*x)-x)dx=int(e^(3*x))dx-int(x)dx
int(e^(3*x))dx=e^(3*x)/3+C1
int(x)dx=x^2/2+C2
e^(3*x)/3+C1-x^2/2-C2=e^(3*x)/3-x^2/2+C
Vastaus: e^(3*x)/3-x^2/2+C
c)5^n+5^n+5^n+5^n+5^n=5*(5^n)=5^(n+1)=5^25
25=n+1, n=24
Vastaus: n=24