MAA 7, derivointi

Hyvin usein derivoimissa käytetään: (x^n)’=n*x^(n-1) ihmettelin – miksi, yritän johtaa tämä sääntö f'(x)=lim[x->x0](f(x)-f(x0))/(x-x0):stä.

f(x)=x^n

f'(x)=lim[x->x0](f(x)-f(x0))/(x-x0)

f'(x)=lim[x->x0](x^n-x0^n)/(x-x0)

a^n-b^n=(a-b)*(a^(n-1))+a^(n-2)b+…+ab^(n-2)+b^(n-1)) (tätä kaavaa myös voidaan johda, mutta se muutenkin pitäisi olla veressä)

x^n-x0^n=(x-x0)*(x^(n-1)+x^(n-2)*x0…+x0^(n-1))

lim[x->x0] haitta vain jos x-x0 on nimittäjässä, muuten voidaan olettaa että x=x0.

x^n-x0^n=(x-x0)*(x^(n-1)+x^(n-2)*x…+x^(n-1))

x^(n-2)*x,x^(n-3)*x^(2)…, x(n-m-1)*x(m),.. – jokainen termi on x^(n-1), kuten x^(n-m)*x^(m)=x^(n-m+m-1)=x^(n-1)

Ja se toistuu (a^0+…a^(n-1)) – n kerta.

Siis: f'(x)=n*x^(n-1), todistettu.