Tämä on maku kysymys, mutta mielestäni tämä oli vaikea.

Pitäisi osoita että luku voidaan lausua muodossa , jossa a ja b ovat rationaali luvut, mutta lukua ei.

sqrt(22-12*sqrt(2))=a+b*sqrt(2) => 22-12*sqrt(2)=(a+b*sqrt(2))^2

(a+b*sqrt(2))^2=a^2+2*b^2+2*a*b*sqrt(2)

oletetaan että x= a^2+2*b^2 ja y=2*a*b, eli

22-12*sqrt(2)=x+y*sqrt(2)

x=22,  y=-12

a^2+2*b^2=22, 2ab=-12

a=-6/b (toisesta yhtälöstä)

36/b^2+2*b^2=22

36=22*b^2-2*b^2, 36=20*b^2

oletetaan että b^2=t

2*t^2-22*t+36=0

t^2-11*t+18=0

t1=9, t2=2, ja t2 ei sopii, sen juuri ei ole rationaali.

Eli saadaan b1=3 tai sitten b=-3, ja a vastavasti on -2 tai 2

sqrt(22-12*sqrt(2))>0 ja kun b=-3, a=2, niin a+b*sqrt(2) on 2-3*sqrt(2)<0, ei ei kelpaa (kelpaa mutta emme mennä kompleksilukuihin)

Eli b=3 ja a=-2, ja luku voidaan esittää muodossa -2+3*sqrt(2).

Ja toinen luku, sqrt(sqrt(2)-1)=sqrt(-1+1*sqrt(2))

Eli x=-1 ja y=1

aiemmin oli todettu että x= a^2+2*b^2, eli x selvästi > 0, siis tilanne on mahdoton ja luku ei voidaan esittää.