Todistetaan Sandwich-periaate oikeaksi: jos an<=bn<=cn, kaikkille n=>n0 ja , niin myös
Raja arvon määritelmä epsilonin kautta näyttää seuravalta:
=> kaikille eps>0 on olemassa sellainen n(epsista), niin että jos kaikki n>n(eps.) niin |an-A|<eps
Laaditaan kuvaa:
Huom – bn voi olla missä vaan A:n nähden, mutta se on taatusti an ja cn välillä.
Nyt voidaan sanoa näin:
jolle , että
ja samalla
jolle , että
(Miksi ei, jos on pienempi kun epsilon kaikille epsilonille, niin onkin pienempi kuin kolmas osa)
Nyt olkoon N=max{N1,N2}, eli suurin niistä, koska emme tiedä mikä puoli on suurempi.
Sillon pitää paikkansa: (kolmoisepäyhtälö)
sitten
eli siis silloin kun
tai voidaan sanoa on niin että
ja tämä on lukujonon määrittely, eli ♦