Oletetaan, että p > 3 on alkuluku. Osoita resiprookkilain avulla, että

(3/p)=1 jos p≡±1 (mod 12)
ja
(3/p)=-1 jos p≡±5 (mod 12)

(3/p) on Legendren symboli

 

Resiprookkilaki sanoo että:

(3/p)(p/3)=(-1)^((p-1)(3-1)/4)=(-1)^((p-1)/2)

olkoon z=(-1)^((p-1)/2)

Niin (3/p)=z/(p/3)

Nyt Legendin symbolin määritelmästä nähdään, että

(p/3)=1 jos on x että x2≡p (mod 3)

(p/3)=-1 jos ei ole x että x2≡p (mod 3)

Ja kun 3|p, niin on vaan kaksi vaihtoehtoja p≡±1 (mod 3)

Katsotaan ne erikseen
1) x2≡1 (mod 3), josta nähdään ratkaisunkin x=3k±1, k€Z

x2=9k2±6k+1≡1 (mod 3)

2) x2≡-1 (mod 3)

Niin, lukuteoria luennon jälkeen jatketaan.

Edellisellä yhtälöllä ei ole ratkaisua sen takia, että jos x≡0 (mod 3), niin x^2 on myös kongruentti 0 modulo 3.

Jos x≡±1, niin x^2≡1.

Muita vaihtoehtoja ei ole, tästä johtuu että x^2≡-1 ei toteutuu millään x:lla.

Tästä nähdään, että x^2≡p(mod 3):lla on ratkaisu, kun p≡1(mod 3). Siis jos p≡1(mod 3), niin (p/3)=1

ja ratkaisuja ei ole, kun p≡-1, siis jos p≡-1(mod 3) niin (p/3)=-1

1) p≡1(mod 12), p=12m+1, m on kokonaisluku

p≡1(mod 3) => (p/3)=1 ja (-1)^((p-1)/2))=1, 1*1=1

2) p≡-1 (mod 12) => p≡-1 (mod 3) => (p/3)=-1

(-1)^((p-1)/2)=-1^(6m-1)=-1, => (3/p)=+1

ja 3 ja 4 sitten:

3) p≡5 (mod 12) , p=12m+5

p≡-1( mod 3) => (p/3)=-1

-1^(p-1)/2=-1^(6m+2)=1

-1*1=-1, (3/p)=-1

4) p≡-5 (mod 12), p=12m-5

p≡1 mod 3=> (p/3)=1

-1^p-1/2=-1^(6m-3)=-1, (3/p)=-1